El principio holográfico es una de las primeras introducciones de la idea de que la información puede estar presente holográficamente dentro de ciertas estructuras del universo, a saber, los agujeros negros. En este punto, uno puede empezar a darse cuenta de cómo la narrativa científica ha ido cambiando progresivamente y de forma muy sutil de términos como energía, fuerzas, partículas y campos, a esta palabra: información.
Cuando pensamos en información, pensamos en ordenadores, programación y bits de información expresados en valores de 0 o 1 en un sistema binario. Todo esto es un subconjunto de un campo más amplio llamado teoría de la información, cuyo objetivo es explicar todas las características de la realidad como emergentes del intercambio de información y sus propiedades.
Este artículo profundiza en el tema, dando una breve visión general de la historia y el desarrollo del principio holográfico detrás del concepto fundamental del modelo holográfico generalizado desarrollado por Nassim Haramein [1-3], que da una solución cuantizada a la masa y la gravedad.
Entropía y Termodinámica de un Agujero Negro
El principio holográfico tiene su origen en los trabajos de David Bohm [4] [5], quien sugirió que cada región contiene una «estructura» total envuelta en ella. Bohm equiparó esta idea con la estructura del Universo, al que se refirió como un holograma, basándose en su analogía con la holografía óptica.
Esta «estructura» envuelta en cada región o volumen también puede describirse en términos de su contenido de información, lo que la conecta con la entropía, ya que desde la perspectiva de la teoría de la información, la entropía es una medida del contenido de información en un sistema.
Cuando se aplican estas ideas a los agujeros negros, nos encontramos con el siguiente problema: la concepción actual afirma que no se puede acceder directamente al contenido de un agujero negro porque todo lo que llega a él queda «atrapado» en su interior. Por tanto, según este punto de vista, un observador externo está limitado por la aparente imposibilidad de acceder a la dinámica y el contenido del interior de un agujero negro. Esto ha impedido a los físicos abordar el interior del agujero negro y no está claro qué ocurre con la información que cae en él. Se ha supuesto que la información que cae en un agujero negro se pierde, pero eso violaría las leyes de la física cuántica que establecen que la entropía o la información no pueden destruirse. Se establece así lo que se conoce como la paradoja de la información , que Stephen Hawking, entre otros, ha intentado resolver desde entonces.
Para resolver las cuestiones planteadas anteriormente, Bekenstein propuso que la entropía o información en una región determinada del espacio está limitada por el área de su frontera, y esto pareció resolver el problema porque a esta frontera puede acceder un observador externo. Por lo tanto, se podría acceder a toda la información contenida en el volumen desde la superficie, ya que estaría impresa holográficamente en ella. Bekenstein [6-8] propuso que la entropía S o información contenida en un volumen dado de espacio, como un agujero negro, sería proporcional a su área de horizonte superficial A expresada en unidades cuadradas de área de Planck l2 como:
A continuación, tras cálculos adicionales considerando la termodinámica y la entropía de los agujeros negros (véase el Apéndice A al final de este artículo para una explicación más detallada), se definió la entropía de Bekenstein-Hawking de un agujero negro expresada en unidades de área de Planck como
donde el área de Planck es el cuadrado del área l2 tomada como una unidad de entropía y A es la superficie del agujero negro.
Bekenstein [9] argumentó además a favor de la existencia de un límite superior universal para la entropía de un sistema arbitrario con un radio máximo rl :
donde E es el contenido energético, 
es la constante reducida de Planck (
) y c es la velocidad de la luz en el vacío. Suponiendo E = mc2, descubrió que este límite máximo es equivalente a la entropía de Bekenstein-Hawking para un agujero negro.
Esta idea de una entropía máxima definida por el límite de Bekenstein, junto con los argumentos de conservación de la energía, condujo finalmente a un principio holográfico descrito por ‘t Hooft [10-12] y posteriormente desarrollado por Susskind [13]. Estudiando las características mecánicas cuánticas de los agujeros negros y la tercera ley de la termodinámica que relaciona la entropía con el número total de grados de libertad (el número de formas independientes en las que un sistema dinámico puede moverse sin violar ninguna restricción que se le imponga), ‘t Hooft demostró que la entropía cuenta directamente el número de grados de libertad binarios (conocidos formalmente como grados de libertad booleanos, que toman valores de 0 o 1) y concluyó que los grados de libertad relevantes de un agujero negro no deben superar 1/4 de la superficie total y, por tanto, la entropía máxima para un agujero negro es A/4.
Es decir, «una región con superficie límite de área A está descrita completamente por no más de A/4 grados de libertad, o aproximadamente 1 bit de información por área de Planck». Véase la imagen siguiente para mayor claridad.
Sin embargo, como señala Bousso [12], el contenido de información del volumen superará al de la superficie para todos los sistemas mayores que la escala de Planck. Así, el resultado obtenido cuando sólo se considera la superficie está en contradicción con el número mucho mayor de grados de libertad estimado cuando se considera el volumen. Se plantea así la cuestión de si la entropía de Bekenstein-Hawking cuenta todos los estados booleanos dentro de un agujero negro o sólo los distinguibles para el observador externo.
El Enfoque Holográfico Generalizado de Nassim Haramein
¿Cómo podríamos dar cuenta de la información dentro de un volumen al que, en principio, no se puede acceder? Bueno, puede que no podamos entrar en un agujero negro, pero si conocemos la superficie y, por tanto, el radio del sistema, sin duda podríamos estimar los grados de libertad en su interior, definiendo una unidad de volumen.
En estos trabajos [1] [2] [3], Haramein definió una unidad de volumen esférica o voxel para el espacio que denominó Unidad Esférica de Planck (PSU), que es la unidad fundamental de energía. La PSU representa un cuanto de oscilación electromagnética y también representa un bit de información. Un bit es una unidad de información, que puede ser la posición o dirección de una partícula, en este caso, de una PSU.
El enfoque holográfico generalizado de Nassim Haramein da una solución cuantizada a la masa y la gravedad en términos de unidades esféricas de Planck (PSU). Su idea se resume en la figura siguiente, donde rl es la mitad de la longitud l de Planck y r es el radio de cualquier esfera mayor que la PSU.
El enfoque de Haramein describe el sistema considerado (como una PSU, un protón, un electrón o el Universo) como un objeto esférico, y esta aproximación de primer orden ha demostrado ser una suposición muy buena. Al embaldosar la superficie y llenar el volumen de dicho sistema esférico con estas PSU se obtiene la figura anterior, que también muestra las expresiones para las densidades de superficie y volumen con respecto a las PSU.
El número de PSU que pueden embaldosar la superficie del objeto esférico considerado se expresa mediante la letra griega eta (η), que representa una densidad de superficie que da el contenido de información de la superficie en términos de PSU. Para calcular η debemos dividir el área superficial del objeto, A (=4πr2), por el área ecuatorial π rl2 de una PSU con radio rl que es la mitad de la longitud de Planck l, rl = l/2. Puesto que en el marco de la teoría de la información, la entropía es una medida del contenido de información en un sistema, η también está asociada a la entropía superficial.
Además, podemos encontrar la densidad de volumen o el contenido de información (es decir, la entropía) dentro del volumen del sistema esférico dividiendo su volumen (representado por la letra V) por el volumen de una PSU. Así se calcula el número de PSU que pueden llenar el volumen V, cantidad que representamos con la letra R. El volumen de un objeto esférico de radio r es V = (4/3)πr3 y la misma fórmula calcula el volumen de una PSU utilizando su radio rl.
Con estas densidades tan simples que hemos denominado entropía de superficie η y entropía de volumen R, Haramein define la relación holográfica fundamental ɸ = η / R que se muestra en la figura anterior, que es una relación adimensional que expresa la entropía de superficie a volumen y representa la transferencia potencial de información o tasa de intercambio de información entre el volumen y la superficie del sistema esférico. Esta relación holográfica ɸ es el concepto primario de la teoría holográfica generalizada. Las soluciones holográficas generalizadas presentadas los artículos publicados demuestran que es esta relación la que explica la aparición de características como la masa y la gravedad.
Está claro entonces que los grados de libertad dentro del sistema esférico pueden y necesitan ser contabilizados, para obtener los valores correctos para la masa del sistema. Como mostraremos en el siguiente artículo, el contenido de información del volumen – número de PSU en el volumen – para un protón es mayor que el contenido de información del área – PSU en la superficie – por un factor de 1020.
A Destacar
En resumen, vemos que el principio holográfico se limita a la superficie o frontera de un agujero negro, despreciando el contenido de información del volumen aunque no toda ella pueda codificarse en la superficie. El planteamiento de Haramein también tiene en cuenta la información del volumen.
Así, la naturaleza de la holografía, el principio holográfico y la entropía máxima de un agujero negro son explorados más a fondo por Haramein, quien propone un enfoque holográfico generalizado en términos tanto de la entropía de la superficie como del volumen de un sistema esférico [1] [2]. De este modo, se aborda la paradoja de la información. Daremos un breve esbozo de este enfoque aplicado a protones y al agujero negro Cygnus X-1, en el próximo artículo titulado El modelo holográfico generalizado Parte II: Gravedad cuántica y la masa holográfica.
Si el lector desea profundizar en la física y las ecuaciones del principio holográfico y la entropía de un agujero negro explicadas en este artículo, consulte el Apéndice que figura a continuación.
Apéndice
Dado que un agujero negro también obedecería las leyes de la termodinámica, su entropía o información total (la de su superficie más la de su volumen) obedece a una segunda ley generalizada de la termodinámica en la que la entropía de la superficie del agujero negro más la entropía de su interior nunca disminuye.
Esta relación entre la física de los agujeros negros y la termodinámica también existe entre la primera ley de la mecánica de los agujeros negros y la primera ley de la termodinámica.
La primera ley de la mecánica de los agujeros negros:
da la masa M en términos de la gravedad superficial κ, el área superficial A, la velocidad angular Ω , el momento angular J, un potencial electrostático Φ y la carga eléctrica Q, y es inversamente proporcional a la constante gravitatoria G. Obsérvese que para un agujero negro de Schwarzschild, el momento angular J y la carga eléctrica Q se fijan en cero. Es decir, este agujero negro en particular no gira y no tiene carga, lo que no es más que una situación idealizada que nos permite resolver algunas ecuaciones analíticamente (en realidad, todos los agujeros negros giran, aunque detectar este comportamiento es todo un reto).
Considerando que la primera ley de la termodinámica determina la energía de un sistema en términos de su temperatura T, su entropía S, su presión P y su volumen V utilizando la ecuación que se muestra a continuación, y donde dE, dS y dV expresan el cambio infinitesimal de cada uno:
Cuando no hay carga, el último término de la Ec. (3) se hace cero, y podemos ver claramente la analogía entre la Ec. (3) y la Ec. (4), como se explica en la figura siguiente.
Las cantidades A y κ del agujero negro tienen una estrecha analogía con la entropía y la temperatura respectivamente, por lo que igualando los primeros términos del lado derecho de cada ecuación (Ec. (3) y Ec. (4)), Bardeen, Carter y Hawking [9] pudieron demostrar que,
Posteriormente, Hawking predijo en 1974 la emisión espontánea de radiación térmica de agujero negro (derivada de la conversión de las fluctuaciones del vacío cuántico en pares partícula-antipartícula) con una temperatura dada por [10] [11]:
donde kB es la constante de Boltzmann y τk es el tiempo de vida característico del pulso de luz emitido por la materia en inflexión y se considera como el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia 2rS, donde rS es el radio de Schwarzschild (el radio de Schwarzschild obtenido como solución de las ecuaciones de campo de Einstein para un agujero negro no giratorio y sin carga descrito como un cuerpo esférico. El radio de Schwarzschild se considera el límite o frontera del agujero negro; dentro de este radio nada podría escapar).
Podemos sustituir la definición anterior para la temperatura de Hawking Ecuación (6) e incluir un factor c2/ kB para que la entropía pueda darse en unidades adimensionales como,
donde, l2 sustituye a (G h)/c3 como se indica en la definición de la longitud de Planck.
Referencias
[1] N. Haramein, Phys. Rev. Res. Int. 3, 270 (2013).
[2] N. Haramein, e-print https://doi.org/10.31219/osf.io/4uhwp (2013).
[3] N. Haramein and A. K. F. Val Baker, Journal of High Energy Physics Gravitation and Cosmology 5, 412 (2019).
[4] D. Bohm, B. J. Hiley and A. E. G. Stuart, Int J Theor Phys 3, 171 (1970).
[5] D. Bohm, Wholeness and the Implicate Order (Routledge, London, 1980).
[6] J. D. Bekenstein, Nuovo Cim. Lett. 4, 737 (1972).
[7] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).
[8] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 9, 3292 (1974).
[9] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 23, 287 (1981).
[10] G. ‘t Hooft, e-print arXiv:gr-qc/9310026 (1993).
[11] G. ‘t Hooft, in Basics and Highlights in Fundamental Physics (Proceedings of the International School of Subnuclear Physics, Erice, Sicily, Italy, 2000)
[12] R. Bousso, Rev. Mod. Phys. 74, 825 (2002).
[13] L. Susskind, J. Math. Phys. 36, 6377 (1995).
