Los cristales de tiempo representan uno de los descubrimientos más fascinantes de la física cuántica moderna: un nuevo estado de la materia que parece desafiar algunos de nuestros conocimientos básicos sobre el tiempo y la termodinámica. Propuestos teóricamente por primera vez por el premio Nobel Frank Wilczek en 2012, los cristales de tiempo son estructuras que se repiten en el tiempo en lugar de en el espacio, creando un patrón de movimiento que se produce sin consumir ni perder energía.

En los cristales tradicionales, los átomos se disponen siguiendo un patrón espacial repetitivo, como la estructura de un diamante o los cristales de sal (incluida la sal de mesa de todos los días). Sin embargo, los cristales de tiempo presentan un tipo diferente de simetría: sus átomos giran periódicamente, cambiando de dirección a un ritmo regular mientras permanecen en su estado energético más bajo posible. En la primera formulación teórica de un cristal de tiempo, se postulaba que esta oscilación periódica se producía sin aporte de energía externa, lo que llevó a algunos a preguntarse inicialmente si tales estructuras podían existir sin violar las leyes fundamentales de la física.

La primera confirmación experimental de los cristales de tiempo se produjo en 2017, cuando dos equipos de investigación independientes -uno en la Universidad de Harvard dirigido por Mikhail Lukin y otro en la Universidad de Maryland dirigido por Christopher Monroe- crearon con éxito cristales de tiempo en entornos de laboratorio. Estos primeros cristales de tiempo requerían sofisticados sistemas cuánticos, utilizando iones atrapados o centros de vacantes de nitrógeno en diamantes, y debían mantenerse a temperaturas extremadamente bajas.

Sin embargo, en 2018, los físicos de Yale hicieron un descubrimiento sorprendente cuando encontraron signos de comportamiento de cristales de tiempo en un sistema mucho más simple: un cristal que podría encontrarse en el kit de fabricación de juguetes de un niño. Usando cristales de fosfato monoamónico (MAP), que se utilizan comúnmente en juegos educativos de cultivo de cristales, los investigadores observaron la firma reveladora de un cristal de tiempo discreto. Este hallazgo inesperado puso en entredicho las suposiciones previas sobre las condiciones necesarias para que se formen cristales de tiempo.

Ahora, los cristales de tiempo están a punto de pasar de la curiosidad teórica a la aplicación tecnológica en el avance de los ordenadores cuánticos. Estudios recientes han demostrado que los cristales de tiempo topológicos de larga vida pueden dar lugar a un entrelazamiento cuántico de largo alcance resistente a las perturbaciones ambientales (estudio publicado en Nature Communications). Y los investigadores, incluido el equipo de la Federación Espacial Internacional, están estudiando cómo los cristales de tiempo pueden tener aplicaciones en todos los campos, desde la generación de energía cuántica más allá del equilibrio hasta una mejor comprensión de la biofísica del sistema vivo.

¿Qué Son los Cristales de Tiempo?

Los cristales de tiempo representan no solo un nuevo estado cuántico, sino una nueva fase de la materia, fundamentalmente distinta de las fases convencionales como sólidos, líquidos, gases y plasmas. Los cristales de tiempo fueron propuestos por primera vez por el físico ganador del Premio Nobel Frank Wilczek en 2012 [1,2], los cristales de tiempo son sistemas que rompen espontáneamente la simetría continua de traslación temporal exhibiendo un movimiento periódico en un estado de no equilibrio, lo que significa que tienen un patrón de repetición en el tiempo y no sólo en el espacio. La simetría de traslación temporal es la idea de que la física de los sistemas complejos es la misma independientemente del intervalo de tiempo al que se «traslade», o se mueva, un sistema.

Representan la aparición espontánea de un reloj dentro de un sistema dinámico invariante en el tiempo.

Wilczek, «Cristales cuánticos de tiempo»

A diferencia de los cristales ordinarios, que muestran un orden espacial discreto a través de una estructura repetitiva en el espacio, los cristales de tiempo muestran un orden temporal discreto, volviendo a la misma configuración a intervalos regulares de tiempo. En el cristal temporal idealizado, este comportamiento periódico se produce sin aporte de energía externa y persiste indefinidamente. Para entender la «simetría de traslación», podemos considerar el espacio normal, que presenta una simetría de traslación continua porque nada distingue un punto de otro, y no hay diferencia en la orientación o dirección que se recorre en el espacio tridimensional; las leyes de la física siguen siendo las mismas. Este no es el caso de los cristales que rompen la simetría de traslación espacial. Por ejemplo, en un cristal de cuarzo, el movimiento en el plano «x» del espacio tridimensional genera espontáneamente un campo eléctrico (denominado efecto piezoeléctrico), mientras que el movimiento en el plano «z» no lo hace, pero los rayos de luz que se mueven en esa dirección espacial se polarizan. Esto se debe a que los átomos se disponen periódicamente en lugares específicos, lo que da lugar a una simetría espacial discreta, y muestran correlaciones espaciales de largo alcance. Así pues, la ruptura de la simetría traslacional en el espacio tridimensional da lugar a cristales ordinarios, pero ¿qué ocurre con la ruptura de la simetría traslacional en el tiempo, podría existir algo así?

Tras la incursión de Wilczek en lo que entonces era un nuevo e hipotético estado de la materia, estudios posteriores descubrieron que tal sistema de «ruptura de la simetría temporal» tendría comportamientos no clásicos, como la «rotación persistente» (Figura 1), girando continuamente incluso en su estado de energía más bajo [3]. Por ejemplo, en el estudio de Li et al. se descubrió que la rotación se induce incluso en el estado de energía más bajo de un sistema y no se debe a una fuerza impulsora externa, sino que surge de las propiedades mecánicas cuánticas del sistema; esta rotación persistente crea un orden temporal, que conduce a la formación de un cristal espaciotemporal.

Intuitivamente, si un sistema espacialmente ordenado gira persistentemente en el estado de energía más bajo, el sistema se reproducirá periódicamente en el tiempo, formando un cristal de tiempo análogo a un cristal ordinario. Un sistema así parece una máquina de movimiento perpetuo y puede parecer inverosímil a primera vista.

Li et al.

La mención del «estado de energía más bajo» indica que el cristal de espaciotiempo funciona en el estado básico del sistema o en un estado estacionario de no equilibrio en el que las fluctuaciones cuánticas impulsan el movimiento periódico [4]. Esto distingue estos estados de la materia de los sistemas clásicos, en los que el movimiento periódico suele requerir un aporte continuo de energía; en el caso del cristal espaciotemporal, el movimiento periódico es impulsado por la energía de fluctuación del vacío cuántico (y, por tanto, no se infringen las leyes de conservación de la energía).

Así, este tipo de sistemas tienen una especie de movimiento persistente que surge debido a las interacciones en el sistema, como el acoplamiento con las fluctuaciones cuánticas en el estado básico, lo que da lugar a un estado periódico y ordenado en el tiempo. Este comportamiento es análogo al orden espacial en los cristales pero ocurre en la dimensión temporal, de ahí el nombre de cristales de tiempo . Los cristales de tiempo son una clase de objetos cuánticos con la novedad clave de una asimetría temporal respecto al movimiento periódico en equilibrio. Los cristales espaciales son estados de la materia interesantes y a menudo tecnológicamente útiles porque en estado de equilibrio los átomos están dispuestos en un patrón periódico, no al azar y sin orden. Esto es distinto porque normalmente en el comportamiento termodinámico hay una tendencia a que los sistemas que van al equilibrio se vuelvan aleatorios y, por tanto, ordenados espacialmente de forma simétrica. Los cristales ordinarios mantienen un patrón ordenado sin requerir un aporte de energía que impida la aleatorización normal generadora de simetría. Los cristales del tiempo se distinguen de forma similar, salvo en que presentan patrones ordenados de movimiento en el tiempo, aunque este movimiento ordenado persiste incluso en el estado de equilibrio sin necesidad de aporte de energía: de nuevo, aparentemente contrario a la termodinámica convencional, y de hecho muchos pensaron que un sistema así sería una violación directa de las leyes de la termodinámica, especialmente de la segunda ley de la termodinámica que prohíbe el movimiento perpetuo.

De hecho, en la formulación inicial de Wilczek, se descubrió que los cristales de tiempo oscilarían en el tiempo sin aporte de energía externa, lo que llevó a la conclusión de que un sistema así violaría las leyes de conservación de la energía y se descartó como posible estado de la materia. Sin embargo, seguían existiendo sistemas «disipativos» impulsados periódicamente que no estaban en equilibrio térmico y que aún podían permitir el comportamiento de los cristales de tiempo [5, 6, 7]. En tales sistemas de no-equilibrio, impulsados con un periodo de T, entonces cualquier cristal de tiempo rompería la simetría discreta tiempo-translacional de la impulsión y sólo volvería a su estado inicial después de múltiplos discretos de un tiempo nT, donde n es un número entero entero (Figura 2).

Una faceta notable de este exótico estado de la materia es que, para evitar la «fusión», el cristal de tiempo discreto no debe absorber energía de la unidad (un fenómeno conocido como localización de muchos cuerpos), de modo que incluso en condiciones de no equilibrio el sistema está térmicamente aislado. Con esto y la «memoria» del sistema a su estado inicial -bloqueo espontáneo a un periodo de oscilación (por ejemplo, 2T) que difiere del accionamiento externo (T)- los cristales de tiempo discreto son distintos de cualquier sistema oscilatorio clásico conocido, como las ondas o los péndulos accionados.

Así pues, la idea central de un cristal de tiempo implica sistemas que exhiben un movimiento periódico incluso en su estado básico, de forma análoga a como los cristales espaciales tienen disposiciones periódicas de átomos en el espacio. Los cristales de tiempo mantienen un estado repetitivo en el tiempo, similar a la disposición espacial repetitiva de los átomos en los cristales convencionales. A diferencia de los sistemas oscilatorios tradicionales, conservan la memoria de su estado inicial, al que vuelven periódicamente, y no necesitan energía adicional para mantener las oscilaciones.

Este fenómeno desafía la concepción clásica de los estados de equilibrio en física. Significa que un sistema puede existir en un estado de movimiento periódico indefinidamente sin perder energía. Los cristales de tiempo son una fase única de la materia que evita la termalización, de modo que incluso con una dinámica de no equilibrio de larga duración el sistema no disipa energía (no genera calor), lo que permite la persistencia de la ruptura de la simetría discreta de traslación temporal característica de los cristales de tiempo.

Los Cristales de Tiempo Pueden estar Presentes de forma Natural en Materiales Ordinarios e Incluso en la Biología

En 2018, los físicos de Yale, dirigidos por Sean Barrett, hicieron un descubrimiento sorprendente cuando encontraron firmas discretas de cristales de tiempo en el fosfato monoamónico (MAP), un compuesto común utilizado en fertilizantes y kits de cultivo de cristales para niños [11]. Hasta entonces, los cristales de tiempo se habían preparado en condiciones muy especializadas y no se creía que una fase de la materia de este tipo se diera de forma natural; el hallazgo pone en tela de juicio las suposiciones anteriores sobre cómo y dónde pueden formarse los cristales de tiempo. A diferencia de las demostraciones anteriores, que requerían materiales y condiciones muy especializados, como átomos de iterbio o diamantes con vacantes de nitrógeno, los cristales de MAP presentan claras firmas de cristal temporal a pesar de ser un cristal espacial muy ordenado. Cuando se exponen a resonancia magnética nuclear, los átomos de MAP muestran el característico comportamiento «tic-tac» de los cristales de tiempo, oscilando hacia delante y hacia atrás siguiendo un patrón regular incluso cuando el pulso electromagnético que los impulsa es irregular [12].

Las implicaciones de encontrar el comportamiento de los cristales de tiempo en un material tan común son profundas. Sugiere que los cristales de tiempo pueden ser más frecuentes en la naturaleza de lo que se pensaba y plantea cuestiones fundamentales sobre las condiciones necesarias para su formación. Como señala Barrett, los físicos deben tratar ahora de entender cómo pueden surgir firmas de cristales de tiempo en disposiciones espaciales ordenadas y por qué no aparecen en un mayor número de cristales ordinarios.

Más allá de la física, los trabajos recientes de Anirban Bandyopadhyay y sus colegas sugieren que los cristales de tiempo pueden desempeñar un papel fundamental en los sistemas biológicos, sobre todo en la función cerebral. Su «modelo autooperativo de cristales de tiempo del cerebro humano» propone que el cerebro funciona a través de una intrincada arquitectura de cristales de tiempo anidados que abarcan múltiples escalas espaciales y temporales [13]. Este modelo sugiere que los procesos cognitivos surgen de la interacción de varios relojes biológicos, desde las rápidas oscilaciones de las estructuras proteínicas hasta los ritmos neuronales más lentos.

El modelo identifica doce componentes cerebrales principales que pueden generar cada uno sus propios patrones de cristales de tiempo, lo que permite un procesamiento complejo de la información a través de lo que denominan arreglos de «jardín de jardines». Estos componentes van desde microtúbulos y neuronas individuales hasta estructuras mayores como el hipocampo y el córtex. Según su teoría, la propia consciencia puede surgir de la capacidad del cerebro para mantener simultáneamente múltiples arquitecturas distintas de cristales de tiempo.

Aunque esta aplicación biológica de los cristales de tiempo sigue siendo especulativa y requiere una mayor validación experimental, representa un enfoque innovador para comprender la función cerebral que va más allá de los modelos neurocientíficos tradicionales centrados únicamente en las redes neuronales y las conexiones sinápticas. El descubrimiento de firmas de cristales de tiempo en materiales comunes como el MAP da credibilidad a la posibilidad de que se produzcan fenómenos similares en los sistemas biológicos.

Nuestra propia investigación biofísica ha identificado y delineado una arquitectura anidada de cristales de tiempo poli de osciladores armónicos cuánticos que son responsables de la coherencia y sincronización macromolecular de largo alcance, actuando verdaderamente como el «pegamento» del sistema celular, haciéndolo un todo sin fisuras. El comportamiento de los cristales de tiempo dentro del sistema biológico se escala a partir de una Frecuenciade Pulso de Planck -por lo que se trata de una arquitectura anidada de cristales poli-temporales, ya que implica una cadena de resonancia de osciladores acoplados desde la escala cuántica hasta la escala neuronal. La frecuencia del pulso de Planck es como el pulso EM impulsor que transfiere el momento angular a través de la cadena de resonancia de osciladores acoplados, contrarrestando la amortiguación y haciendo que el sistema sea robusto frente a perturbaciones discordantes.

La convergencia de estos descubrimientos -cristales de tiempo en la materia ordinaria y su posible papel en los sistemas biológicos- sugiere que podríamos estar en la cúspide de una nueva comprensión de la organización temporal tanto en los sistemas físicos como en los vivos. A medida que avancen las investigaciones, los cristales de tiempo podrían convertirse no sólo en un fenómeno físico fascinante, sino en un principio fundamental que subyace a procesos biológicos complejos y, potencialmente, a la propia consciencia.

Importancia en la Computación Cuántica

Una de las aplicaciones más prometedoras de los cristales de tiempo es su potencial para revolucionar la computación cuántica. Investigaciones recientes han revelado que los cristales de tiempo poseen una notable capacidad para mantener correlaciones cuánticas, incluido el entrelazamiento, lo que los hace especialmente valiosos para aplicaciones de computación cuántica. Este descubrimiento, documentado en un innovador estudio publicado en 2023 por Mattes y sus colegas, podría ayudar a resolver uno de los retos más persistentes de la computación cuántica: mantener la estabilidad de los qubits [14].

Los ordenadores cuánticos son notoriamente sensibles a su entorno. Incluso pequeñas perturbaciones pueden hacer que los qubits -las unidades fundamentales de la computación cuántica- pierdan sus propiedades cuánticas a través de un proceso llamado decoherencia. Los cristales de tiempo ofrecen una posible solución a este problema al proporcionar un entorno naturalmente estable para las operaciones cuánticas. Sus propiedades únicas podrían ayudar a proteger la información cuántica de las interferencias del entorno, mejorando significativamente la fiabilidad y eficiencia de los sistemas cuánticos.

• Mayor estabilidad: Se ha demostrado que la fase de cristal temporal de la materia mantiene las correlaciones cuánticas, incluido el entrelazamiento, aplicable a los qubits de la computación cuántica.

• Los cristales de tiempo podrían abordar un reto crítico en la computación cuántica al preservar la coherencia en los qubits, que son muy susceptibles a las perturbaciones externas.
• Ofrecen estados estables que podrían mejorar la fiabilidad y eficiencia de los sistemas cuánticos.

El efecto estabilizador de las fases del cristal de tiempo en las interacciones de muchos cuerpos podría utilizarse para almacenar el estado de una cadena de qubits en una especie de memoria, como se demostró en un estudio de un cristal de tiempo discreto compuesto por 57 qubits superconductores en un ordenador cuántico de última generación, uno de los mayores cristales de tiempo producidos hasta la fecha [15].

Figura 3. La arquitectura del ordenador cuántico utilizada en estos experimentos pioneros. Esta imagen muestra la disposición de los qubits en los procesadores cuánticos de IBM, cada uno de los cuales contiene 65 qubits. Los puntos negros representan los 57 qubits utilizados para crear el cristal de tiempo discreto, marcando un hito significativo en la investigación de la computación cuántica [16].

Avances Recientes

El campo de la investigación de los cristales de tiempo ha experimentado notables avances en los últimos años, con varios descubrimientos revolucionarios que amplían nuestra comprensión de lo que es posible. Quizá el avance más asombroso se produjo en febrero de 2024, cuando físicos de la Universidad de Dortmund (Alemania) lograron algo que antes se consideraba imposible: crearon un cristal de tiempo que permaneció estable durante 40 minutos [17]. Para poner este logro en perspectiva, el récord anterior era de sólo 5 milisegundos, lo que hace que este nuevo cristal sea casi 10 millones de veces más estable. Y lo que es aún más sorprendente, el cristal no mostró signos de deterioro, lo que sugiere que podría mantener su estabilidad durante horas o incluso más tiempo.

Junto a estos avances en estabilidad, los investigadores han empezado a explorar una frontera completamente nueva: los cristales de tiempo fotónicos. Estas innovadoras estructuras utilizan luz en lugar de materia y funcionan a frecuencias de microondas. Este enfoque ha abierto interesantes posibilidades de aplicación práctica, sobre todo en el ámbito de las comunicaciones y las tecnologías de detección. Los avances en cristales de tiempo fotónicos, de los que se informó a finales de 2023 y principios de 2024 [18], sugieren que pronto podríamos ver láseres más rápidos y compactos y dispositivos ópticos más eficientes. Estos avances podrían transformarlo todo, desde las telecomunicaciones hasta la obtención de imágenes médicas.

Perspectivas a Futuro

Las aplicaciones futuras de los cristales de tiempo van mucho más allá del laboratorio. A medida que aumenten nuestros conocimientos, estos exóticos estados de la materia podrían transformar diversos campos tecnológicos. Por ejemplo, sus propiedades únicas los hacen ideales para mejorar las tecnologías de medición de precisión. Los futuros relojes atómicos podrían aprovechar los cristales de tiempo para lograr una precisión sin precedentes, mientras que los sistemas de navegación podrían utilizarlos para mantener un posicionamiento preciso sin depender de las señales de los satélites.

Un hito importante en las aplicaciones prácticas se produjo cuando, utilizando el hardware de computación cuánticaSycamore de Google, un equipo creó con éxito un cristal de tiempo en 2021 (el procesador cuántico Sycamore de Google puede simular un elusivo sistema cuántico llamado cristal de tiempo discreto), demostrando el primer «auténtico cristal de tiempo» utilizando un procesador cuántico [19]. El logro, publicado en Nature, mostraba cómo el procesador superconductor programable de Sycamore podía mantener un ciclo perpetuo de estados sin consumir energía. Este avance demostró que los cristales de tiempo podían crearse y controlarse en un entorno real de computación cuántica, allanando el camino para aplicaciones prácticas de computación cuántica que aprovechen sus propiedades únicas.

Incluso la Agencia de Proyectos de Investigación Avanzada de Defensa (DARPA) del gobierno estadounidense está investigando aplicaciones con cristales de tiempo, aunque sus motivos siguen siendo clasificados. Aunque no hace falta mucha imaginación para ver cómo los cristales de tiempo podrían tener aplicaciones en operaciones de seguridad, por ejemplo, debido a la sensibilidad de estos relojes podrían detectar incluso los cambios más pequeños en campos magnéticos o gravitatorios, revelando potencialmente túneles ocultos o cavidades subterráneas. El grupo de investigación de DARPA que estudia estas posibilidades se llama Driven and Non-equilibrium Quantum Systems (DRINQS) y, según el comunicado de prensa, su objetivo es «multiplicar por 10 o por 100 el rendimiento de los sensores y dispositivos relacionados con la defensa».

El camino hacia las aplicaciones prácticas aún se enfrenta a algunos retos, sobre todo a la hora de aumentar la producción de cristales de tiempo para su uso en el mundo real. Sin embargo, el éxito de Google con Sycamore, combinado con las investigaciones que se están llevando a cabo en otras instituciones, demuestra que estamos avanzando con paso firme en el control y la utilización de estos fenómenos cuánticos. Los investigadores siguen estudiando cómo los cristales de tiempo pueden crear fases completamente nuevas de la materia o resolver problemas complejos de la física cuántica que han eludido durante mucho tiempo los enfoques tradicionales.

Cambio Eterno Sin Consumo de Energía

Los cristales de tiempo representan uno de los descubrimientos más fascinantes de la física, pues tienden un puente entre la mecánica cuántica teórica y las aplicaciones prácticas. A medida que prosiguen las investigaciones, estas notables estructuras están pasando de ser curiosos fenómenos de laboratorio a potenciales cambios tecnológicos. Su capacidad para mantener estados cuánticos estables podría revolucionar la computación cuántica [19], mientras que sus propiedades únicas podrían transformarlo todo, desde el cronometraje hasta la detección cuántica.

Lo que hace especialmente intrigantes a los cristales de tiempo es su inesperada presencia en materiales ordinarios. El descubrimiento de cristales de tiempo en el fosfato monoamónico (MAP), un compuesto común en fertilizantes y kits de cultivo de cristales para niños, sugiere que estos fenómenos cuánticos exóticos podrían estar más extendidos en la naturaleza de lo que se pensaba. Este hallazgo desafía nuestra comprensión fundamental de la materia y plantea la posibilidad de que los cristales de tiempo puedan estar ocultos a plena vista en muchos materiales cotidianos, a la espera de ser descubiertos.

Aún más profundas son las implicaciones para los sistemas biológicos. Investigaciones recientes sugieren que los cristales de tiempo podrían desempeñar un papel fundamental en los organismos vivos, especialmente en las complejas operaciones del cerebro. Tras el descubrimiento por físicos de Yale del comportamiento de los cristales de tiempo en un cristal «ordinario», es posible que esta fase distintiva de la materia caracterice muchos sistemas a nivel cuántico, incluso en biología. Así, el descubrimiento de que los sistemas biológicos pueden utilizar un comportamiento similar al de los cristales de tiempo para mantener la coherencia y la sincronización a múltiples escalas -desde las proteínas individuales hasta las redes neuronales- podría revolucionar nuestra comprensión de la vida misma. Estos cristales de tiempo naturales podrían actuar como el «pegamento» cuántico que ayuda a mantener la notable coherencia y eficiencia de los procesos biológicos.

Las implicaciones de estos avances van mucho más allá del laboratorio de física. A medida que los cristales de tiempo pasan de la curiosidad teórica a la tecnología práctica, ejemplifican cómo la física novedosa -a la que con demasiada frecuencia se opone la clase dirigente- sigue abriendo nuevas posibilidades en nuestra comprensión de la realidad misma. Su presencia en materiales comunes y su posible papel en los sistemas biológicos sugieren que podríamos estar descubriendo no sólo una nueva fase de la materia, sino un principio fundamental de la naturaleza que opera a todas las escalas, desde los ordenadores cuánticos hasta las células vivas. Con cada avance, estamos más cerca de aprovechar todo su potencial para introducir innovaciones transformadoras en múltiples ámbitos científicos y tecnológicos, al tiempo que profundizamos en nuestra apreciación de la naturaleza cuántica de la vida y de la propia materia.

Referencias

[1] F. Wilczek, “Quantum Time Crystals,” Phys. Rev. Lett., vol. 109, no. 16, p. 160401, Oct. 2012, doi: 10.1103/PhysRevLett.109.160401.

[2] A. Shapere and F. Wilczek, “Classical Time Crystals,” Phys. Rev. Lett., vol. 109, no. 16, p. 160402, Oct. 2012, doi: 10.1103/PhysRevLett.109.160402.

[3] T. Li et al., “Space-Time Crystals of Trapped Ions,” Phys. Rev. Lett., vol. 109, no. 16, p. 163001, Oct. 2012, doi: 10.1103/PhysRevLett.109.163001.

[4] M. N. Chernodub, “Permanently rotating devices: extracting rotation from quantum vacuum fluctuations?,” Mar. 29, 2012, arXiv: arXiv:1203.6588. doi: 10.48550/arXiv.1203.6588

[5] V. Khemani, A. Lazarides, R. Moessner, and S. L. Sondhi, “Phase Structure of Driven Quantum Systems,” Phys. Rev. Lett. 116, 250401 (2016)

[6] C. W. von Keyserlingk, V. Khemani, and S. L. Sondhi, “Absolute Stability and Spatiotemporal Long-Range Order in Floquet Systems,” Phys. Rev. B 94, 085112 (2016).

[7] D. V. Else, B. Bauer, and C. Nayak, “Floquet Time Crystals,” Phys. Rev. Lett. 117, 090402 (2016).

[8] N. Y. Yao, A. C. Potter, I. D. Potirniche, and A. Vishwanath, “Discrete Time Crystals: Rigidity, Criticality, and Realizations,” Phys. Rev. Lett. 118, 030401 (2017)

[9] J. Zhang et al., “Observation of a discrete time crystal,” Nature, vol. 543, no. 7644, pp. 217–220, Mar. 2017, doi: 10.1038/nature21413.

[10] S. Choi et al., “Observation of discrete time-crystalline order in a disordered dipolar many-body system,” Nature, vol. 543, no. 7644, pp. 221–225, Mar. 2017, doi: 10.1038/nature21426.

[11] “Observation of Discrete-Time-Crystal Signatures in an Ordered Dipolar Many-Body System | Phys. Rev. Lett.” Accessed: Jan. 10, 2025. [Online]. Available: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.120.180603

[12] “NMR study of discrete time-crystalline signatures in an ordered crystal of ammonium dihydrogen phosphate | Phys. Rev. B.” Accessed: Jan. 10, 2025. [Online]. Available: https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.97.184301

[13] P. Singh et al., “A Self-Operating Time Crystal Model of the Human Brain: Can We Replace Entire Brain Hardware with a 3D Fractal Architecture of Clocks Alone?,” Information, vol. 11, no. 5, Art. no. 5, May 2020, doi: 10.3390/info11050238.

[14] R. Mattes, I. Lesanovsky, and F. Carollo, “Entangled time-crystal phase in an open quantum light-matter system,” Phys. Rev. A, vol. 108, no. 6, p. 062216, Dec. 2023, doi: 10.1103/PhysRevA.108.062216.

[15] P. Frey and S. Rachel, “Realization of a discrete time crystal on 57 qubits of a quantum computer,” Science Advances, vol. 8, no. 9, p. eabm7652, Mar. 2022, doi: 10.1126/sciadv.abm7652.

[16] G. J. Mooney, G. A. L. White, C. D. Hill, and L. C. L. Hollenberg, “Whole-Device Entanglement in a 65-Qubit Superconducting Quantum Computer,” Advanced Quantum Technologies, vol. 4, no. 10, p. 2100061, 2021, doi: 10.1002/qute.202100061.

[17] A. Greilich, N. E. Kopteva, A. N. Kamenskii, P. S. Sokolov, V. L. Korenev, and M. Bayer, “Robust continuous time crystal in an electron–nuclear spin system,” Nat. Phys., vol. 20, no. 4, pp. 631–636, Apr. 2024, doi: 10.1038/s41567-023-02351-6.

[18] X. Wang, P. Garg, M. S. Mirmoosa, A. G. Lamprianidis, C. Rockstuhl, and V. S. Asadchy, “Expanding momentum bandgaps in photonic time crystals through resonances,” Nat. Photon., pp. 1–7, Nov. 2024, doi: 10.1038/s41566-024-01563-3.

[19] M. P. Estarellas et al., “Simulating complex quantum networks with time crystals,” Science Advances, vol. 6, no. 42, p. eaay8892, Oct. 2020, doi: 10.1126/sciadv.aay8892.