¿Qué es un fractal?
En la naturaleza es frecuente encontrar estructuras biológicas macroscópicas, como las ramas de un árbol, un brócoli romanesco, o los vasos sanguíneos, que pueden describirse mediante geometría fractal.
Los fractales se definen principalmente por tres características [1]:
- Autosimilitud: formas idénticas o muy similares en todas las escalas.
- Iteración: relación recursiva limitada únicamente por la capacidad del ordenador. Con un rendimiento suficientemente alto, las iteraciones podrían ser infinitas. Esto permite obtener formas muy detalladas a todas las escalas, que se modifican con respecto a la primera iteración, manifestando la forma original en algunos niveles de iteración. Por ello, los fractales pueden tener propiedades emergentes, lo que los convierte en una herramienta adecuada para describir a los sistemas complejos.
- Dimensión fractal, o dimensiones fraccionarias: describe la noción contraintuitiva de que una longitud medida cambia con la longitud de la vara de medir utilizada; cuantifica cómo el número de varas necesarias para medir, por ejemplo, una línea costera, cambia con la escala aplicada a la vara.
Fractales a escala microscópica
A pesar de la extraordinaria diversidad de ensamblajes biomoleculares que conoce la ciencia, no es fácil encontrar fractales naturales a escala cuántica. Uno de los primeros descubrimientos del comportamiento fractal a escala cuántica se publicó en nuestro artículo Fractal Pattern in a Quantum Material Confirmed for the First Time, en el que físicos del MIT habían descubierto patrones fractales en los dominios magnéticos del material cuántico óxido de neodimio y níquel o NdNiO3, un niquelato de tierras raras que dependiendo de su temperatura, conduce la electricidad o actúa como aislante.
Ahora, un equipo internacional de investigadores dirigido por grupos del Instituto Max Planck de Marburgo y de la Universidad Phillips de Marburgo informa del descubrimiento de una enzima metabólica natural -la enzima microbiana citrato sintasa (CS) procedente de una cianobacteria- capaz de formar triángulos de Sierpiński en solución acuosa diluida a temperatura ambiente [2]. Determinaron la estructura, el mecanismo de ensamblaje y su regulación de la actividad enzimática in vitro para comprender finalmente cómo se ensambla la citrato sintasa fractal a partir de un bloque de construcción hexamérico, es decir, cómo evolucionó a partir de precursores no fractales. Se trata de la primera disposición molecular regular encontrada en la naturaleza que se ensambla espontáneamente en un patrón fractal regular. El patrón se conoce como triángulo de Sierpiński, una serie de triángulos que se repiten infinitamente y están formados por triángulos más pequeños.
Matemáticamente, el triángulo de Sierpiński puede crearse por subdivisión triangular. En el ejemplo siguiente, las iteraciones aparecen como triángulos negros. La primera iteración es el primer triángulo negro invertido en el centro, que divide el triángulo rojo principal en tres triángulos rojos más pequeños, luego la segunda iteración realiza lo mismo en cada triángulo rojo, que se convertirá en tres triángulos rojos más pequeños en la tercera iteración, y así sucesivamente:
¿Cómo aparece de forma natural la geometría fractal en un sistema cuántico biológico?
Los algoritmos fractales son difíciles de trasladar al autoensamblaje molecular. Por ejemplo, el triángulo de Sierpiński puede crearse mediante subdivisión triangular, en una aproximación más bien “de arriba abajo”. Mientras tanto, el autoensamblaje de biomoléculas se produce mediante la adición secuencial de subunidades, en lugar de por subdivisión, en una especie de enfoque “de abajo a arriba”, y por tanto depende de las interacciones locales entre protómeros para coordinar el ensamblaje.
Como explican los autores del estudio, las proteínas enzimáticas CS pueden ensamblarse en dímeros y hexámeros. Los análisis de fotometría de masas (MP) de la enzima purificada a concentraciones nanomolares mostraron que el CS de la cianobacteria S.elongatus PCC 7942 (SeCS) forma un ensamblaje inusual que revela un complejo compuesto por 18 subunidades CS. Los dibujos de la imagen inferior representan el ensamblaje de las proteínas CS conocidas.
Figura 1: Extracto de la Figura 1 CS de S.elongatus PCC 7942 se ensambla en triángulos de Sierpiński [de Emergence of fractal geometries in evolution of a metabolic enzyme]
El experimento se realizó comenzando con la concentración más alta y diluyendo después la proteína en serie, por lo que los ensamblajes más grandes son reversibles. Se midió una muestra por cada paso de concentración a lo largo de diez cuadros.
Como se observa en la Fig. 1, el 18mer contiene 9 densidades discernibles, cada una de las cuales corresponde a un dímero. Tres dímeros se disponen primero en un anillo hexamérico (cuadrado discontinuo en la imagen de arriba) y tres hexámeros se conectan después en un triángulo. Este 18mero representaba la principal especie oligomérica (compuesta por más de una subunidad) en condiciones MP. El 54mer estaba formado por tres 18mers dispuestos en un triángulo aún mayor con un gran vacío en su centro. El 6mer, el 18mer y el 54mer representan el orden cero (es decir, sin interación), el primer y el segundo del triángulo de Sierpiński respectivamente. Aunque el 36mer no es una estructura fractal, representa otro tipo de triángulo que comparte el bloque de construcción del 6mer y en general conserva la forma triangular.
Para validar que los ensamblajes de 18mer y 54mer son geometrías fractales, los autores de este estudio estimaron su dimensión D de Hausdorff mediante una regresión lineal (en escala logarítmica), que para las formas no fractales, toma un valor entero (D = 2 para un cuadrado, D = 3 para un cubo, y así sucesivamente), mientras que para los fractales, es no entero. Los distintos fractales tienen sus valores D característicos específicos. El método de recuento de cajas utilizado produjo valores no enteros que se correspondían estrechamente con la dimensión fractal calculada del triángulo de Sierpiński, obteniéndose los siguientes valores: D18mer = 1.53 ± 0.02, D54mer = 1.67 ± 0.02, DSierpiński = 1.59, como se muestra en la Figura 2.
Figura 2: Dimensión D de Hausdorff. Extracto de la Fig. 2 en [2] Capas del conjunto fractal.
Para saber si el fractal proteínico podía aumentar de tamaño más allá de las 54 subunidades, los autores utilizaron medidas de dispersión de rayos X de ángulo pequeño (SAXS) para evaluar el radio de giro (Rg) en solución a una serie de concentraciones y compararon sus valores medidos con los valores teóricos de Rg calculados para los modelos estructurales del 6mer, 18mer y 54mer. Descubrieron que a concentraciones superiores a 100 µM (aproximadamente 2.000 veces superiores a las de las mediciones de MP), los valores de Rg medidos superaban el tamaño de los 54meros y alcanzaban rápidamente el límite de detección. Estos experimentos indicaron que la proteína es capaz de un crecimiento extendido, como se predice para el ensamblaje fractal, aunque no pueden probar que los ensamblajes más grandes sean triángulos de Sierpiński en lugar de algún otro tipo de ensamblaje.
Figura 3: a, Representación esquemática de los requisitos necesarios para producir un fractal de Sierpiński a partir de bloques hexaméricos y las restricciones basadas en la simetría en el ensamblaje oligomérico. Los puntos verdes y azules representan interfaces activas o abiertas, respectivamente. b, Mapas de densidad Cryo-EM de triángulos de Sierpiński del orden cero, primer y segundo nivel fractal. El 6mer (3,1 Å) se derivó de la variante hexamérica Δ2-6 SeCS. El 18mer (3,9 Å) se derivó del SeCS de tipo salvaje (WT). El 54mero (5,9 Å) procede de la variante H369R SeCS con pH estabilizado. Figura y pie de foto tomados de [2].
Comprender el ensamblaje molecular fractal
Para entender cómo se ensamblan las formas fractales, los autores de este estudio utilizaron una técnica conocida como criomicroscopía electrónica (Crio-EM) para resolver las estructuras de orden cero (6mer, 3,1 Å), de primer orden (18mer, 3,9 Å) y de segundo orden (54mer, 5. 9 Å) del triángulo Sierpiński de la proteína, y su análisis reveló que los dos dímeros que forman las conexiones fractales experimentan una pequeña rotación en el sentido de las agujas del reloj con respecto a su conformación dentro de un hexámero libre, rompiendo sutilmente la simetría D3 del bloque de construcción hexamérico dentro del fractal. Estos ligeros movimientos se conocen como cambios conformacionales.
En conjunto, el gran número de observaciones realizadas por este estudio reveló un principio fundamental del que parecen surgir los triángulos de Sierpiński: todos los ensamblajes observados parecían minimizar el número de interfaces fractales insatisfechas. Como se afirma en el artículo [2]:
- En estequiometrías para las que se pueden construir triángulos de Sierpiński (18, 54, 162, y así sucesivamente), son siempre la forma más eficiente de conseguirlo, dejando sólo 3 dímeros en las esquinas del triángulo insatisfechos.
- En estequiometrías intermedias, la proteína puebla aparentemente conjuntos no fractales pero aún triangulares, que dejan más dímeros parcialmente insatisfechos en el interior del triángulo (aunque seis 36meros podrían disponerse en un tipo diferente de fractal que se basa en el triángulo de Pascal).
Los autores de este estudio destacan que es notable que el SeCS logre estos ensamblajes sin la ayuda de coordinación metálica o superficies simétricas sobre las que ensamblar, que suelen requerir los triángulos de Sierpiński biológicos sintéticos. En su lugar, la ruptura de las simetrías locales a medida que se ensamblan en estructuras de orden superior -una característica conocida como flexibilidad conformacional, presente en muchas proteínas- parece dar lugar a esta capacidad. Uno se pregunta por qué los bloques de construcción hexaméricos de SeCS son especialmente adecuados para construir triángulos de Sierpiński en comparación con otros complejos proteicos homoméricos diédricos, ya que no hay ninguna razón evidente para ello.
El estudio concluye que este comportamiento excepcional de ensamblaje puede ser un accidente evolutivo, ya que en el caso de la cianobacteria en la que se encuentra esta enzima, los autores encuentran que el hecho de que su citrato sintasa pueda ensamblarse en un fractal o no, no parece suponer ninguna diferencia para la bacteria.
Aunque quizá sea demasiado pronto para afirmar que no hay diferencia entre ambos escenarios.
Referencias
[1] David Harte, Multifractals, Chapman & Hall. pp. 3–4. ISBN 978-1-58488-154-4.
[2] Sendker, F.L., Lo, Y.K., Heimerl, T. et al. Emergence of fractal geometries in the evolution of a metabolic enzyme. Nature (2024). https://doi.org/10.1038/s41586-024-07287-2
